微分方程式

微分方程式は、精密科学のさまざまな分野にとって重要なツールです。これらを使用すると、さまざまなタイプの物理システムを数学言語で記述および定式化できるため、具体的なモデルでの非常に幅広い応用が可能になります。導関数の表記法を簡単に思い出すと、次のようになります。

1 つまたは複数の独立変数に関する 1 つまたは複数の変数の関数の導関数 (または微分) を含む方程式は、微分と呼ばれます。微分方程式は、種類、次数、線形性によって分類されます。見てみましょう：

DE に 1 つの独立変数のみに関する 1 つ以上の従属変数の常導関数のみが含まれる場合、それは常微分方程式 (ODE) と呼ばれます。以下の 3 つの EDO の例を参照してください。

DE に 2 つ以上の独立変数に関する 1 つ以上の従属変数の常導関数のみが含まれる場合、それは偏微分方程式 (PDE) と呼ばれます。以下の EDP の 2 つの例を参照してください。

DE に含まれる最高導関数の次数は、その次数と呼ばれます。例を参照してください。以下の方程式は 2 次 ODE です。

以下の式は 1 次 ODE です。

4 次 EDP は次の例のようになります。

DE は、次の形式で記述できる場合、線形と呼ばれます。

1 次線形 ED は次の 2 つのプロパティで分類することもできます。

1 – y の従属変数とそのすべての導関数は 1 次、つまり n=1 です。

2 – 各係数は独立変数 x のみに依存します。

それ以外の場合、線形ではない DE は非線形と呼ばれます。例えば：

yy”-2y” = x

上の方程式の係数は y に依存するため、ODE、非線形、2 次になります。

ある区間で定義され、ED に代入されると方程式を恒等式に帰着させる関数 F は、DE の解と呼ばれます。一般的に、EDO には次のものがあります。

その F は、少なくとも n 個の導関数を持ち、微分方程式を満たす関数です。例を見てみましょう:

ODE が次のように与えられるとします。

そして、それが EDO の解決策であるかどうかを確認してみましょう。まず、方程式で指定された値を置き換えることができます。つまり、解の y 値を ODE に挿入する必要があります。

ここで、上記の等式で得られた値を ODE に再挿入すると、次のことがわかります。

これは、指定された y 値が ODE の解であることを証明します。

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参考文献:

ジル、デニス・G;マイケル R カレン著、 微分方程式 – 第 1 巻、 サンパウロ – ピアソン マクロン ブックス、2001 年。

バサロ、ホセ・マリア・フィラルド。カターニ、マウロ・セルジオ・ドルサ。 数理物理学の要素 – 第 1 巻。 サンパウロ – 物理図書館、2010 年。

ジョージ・B・アーフケン;ウェーバー、ハンス J;ハリス、フランク E. 数理物理学: エンジニアリングと物理学のための数学的方法 – 第 7 版 リオデジャネイロ：エルゼビア、2017年。