命題論理演算

このセクションでは、 命題論理で使用される演算に 焦点を当てます。ただし、この目的を達成するには、ロジックとは何かを理解する必要があります。

このテーマに関する文献を調査すると、「ロジック」という言葉には多くの定義があることが推測できます。すべての定義において、思考法則の研究または同様の用語が参照されています。最も多様な定義を表すために、COPI (1977、p 15) が「論理とは推論の科学である」と定義していることに注意してください。言い換えれば、推論が独自の意味ネットワークの形成としてどのように構造化され、基づいているかということです。

この意味論的ネットワークの形成と、その最も多様な表現形式には、話し言葉を事前に体系化された記号に変換する一連の記号が必要です。

この変換が発生するには、話し言葉で表現される推論を表現するために、いくつかの記号的な規則が必要です。これらの規則の一部は、いわゆる命題論理演算です。

命題に基づいているため、命題論理と呼ばれます。命題論理は、単純な宣言的命題、つまり人間の知識を伝達するための基本要素である命題を研究することを目的としています。

命題は、「完全な意味で思考を表現するすべての単語または記号のセット」として理解できます (FILHO、2002、p. 11)。命題の組み合わせにより、真または偽の結果が返されます。

前述の操作を以下に分析します。

両方の前提が真である場合、それは真の論理的結論への接続詞と呼ばれます。他の場合には、偽の結果が返されます。一般に、文字 p と q は命題と呼ばれます。したがって、p と q が命題の場合、p ^ q は 2 つの命題間の論理積を表します。したがって、次のような結果が考えられます。

表 1 – 真理値表 – 結合

出典: FILHO、2002、p. 12

接続詞の例:

「マリアは店に行き、白と黒のスカートが見たいと言った。」この例では、「黒と白」という用語の e が接続的な意味を持っている場合、マリアは店に到着したとき、黒と白の色がビーズが付いていたり、他の方法でアレンジされているスカートを見たいと思っていたと推測できます。 。

2 つの命題 p と q の論理和は、2 つの前提条件の少なくとも 1 つが真である場合に真の論理値を返します。両方が false の場合、論理和に割り当てられる論理値は false になります。

その結果、次の真理表が得られます。
表 2 – 真理値表 – 論理和

出典: FILHO、2002、p. 13

論理和の例:

「ホアキンはポルトガル人かブラジル人だ」この表現は 2 つの方法で理解できます。つまり、その意味が排他的である場合、ホアキンはポルトガル人でもブラジル人でもあり得るが、両方の国籍を持たないことを意味します。それ以外の場合、包括的な意味で、ホアキンはポルトガル人、ブラジル人、または両方の国籍を持つ可能性があります。

この場合、2 つのうちの 1 つが true の場合にのみ、true の論理値が返されます。両方 ( p と q ) が true であるため、排他的論理和の論理値は false 値を返します。この場合の真理値表には次のパターンがあります。
表 3 – 真理値表 – 排他的論理和

出典: FILHO、2002、p. 13

排他的論理和の例:

「ホセはアルマンドの息子かレアンドロの息子のどちらかです。」ホセは同時に両方の息子になることができないため、論理和は排他的です。もし彼が一方の息子であれば、もう一方の息子ではないでしょう。

p と q が p → q (p の場合は q) の順序で配置されている場合、この条件は、p が true で q が false の場合に論理値 false を返します。 p は前件項と後件項です。記号 → は – 含意と呼ばれます。この場合、次の真理表があります。

表 4 – 真理値表 – 条件式

出典: FILHO、2002、p. 22

二条件は、p と q が true の場合、または p と q が false の場合に論理値 true を返します。 他の場合には、偽の論理値が存在します。この場合の真理値表は次のとおりです。

表 5 – 真理値表 – 二条件式

二条件の例:

「ブラジルが南米にある場合に限り、砂糖は甘い」。この場合、最初の命題が真であり、2 番目の命題も真であるため、真の論理値が得られます。式がどちらの方法で処理されても、論理値は同じです。

p が偽の場合に論理値が真となり、p が真の場合に論理値が偽となる「not p」で表される命題を否定といいます。

参考文献。
COPI、IM ロジック入門。 サンパウロ。 マスター・ジョウ、1977 年
FILHO、EA 数理論理学入門 。サンパウロ。ノーベル賞、2002 年