微分の計算

導関数は 、数学、物理学、幾何学、経済学などでいくつかの用途があります。 微分計算 の最初の概念は、いわゆる変化率を指します。

変化率:

ğ�’| = ğ�’”(ğ�’¥) とすると、区間 [ğ�’ �, ğ�’¥] にわたる ğ�’¥ に対する ğ�’� の平均変動率が与えられます。による：

この定義は、図の例を使用して取得できます。たとえば、関数 ğ�’” のグラフの点 (ğ�’�, ğ�’”(ğ�’�)) での接線を定義するという問題があるとします。この直線は点 (ğ�’�, ğ�’”(ğ�’�)) を通過する必要があります。このような直線を定義するために私たちに残っているのは、その角度係数を割り当てることです。点 (ğ�’�, ğ�’”(ğ�’�)) と (ğ�’¥, ğ�’”(ğ�’¥) を通る直線 ğ�’Ÿ があるとします。 )、つまり、これを ğ�’” に割ります。

定義により、直線 ğ�’Ÿ (または ğ�’š _ğ�’Ÿ ) の角度係数 ğ�’š は次のように与えられます。

言い換えれば、ğ�’¥ が ğ�’� になる傾向があるとき、傾き ğ�’š _ğ�’Ÿ はğ�’”′(ğ�’�) になる傾向があります。変化率の概念を提示したので、デリバティブの定義を以下に示します。

定義 1 : を関数とし、 をその定義域内の点とします。限界:

それが存在し、有限である場合、それを ğ�’� の ğ�’” の導関数と呼び、ğ�’”′(ğ�’�) で示されます。つまり:

ğ�’” が ğ�’� で導関数を認める場合、 ğ�’” は ğ�’� で微分可能または導出可能であると言います。

定義 2 : ğ�’”′(ğ�’�) を ğ�’¥ = ğ�’� における関数 ğ�’” の導関数とする。 ğ�’¥ = ğ�’� + â“� の ğ�’¥ の小さな変化を考慮すると、ğ�’¥ を ğ�’� に近づけることは、� を 0 に近づけることと同じです。 。言い換えると：

上記の制限が存在する限り。

注記:

関数の導関数にはいくつかの表記法があります。しかし、結局のところ、それらはすべて同じものを表しています。以下に、表記をどのように「読む」かについての例をいくつか示します。

例:

1) 関数を ğ�’”(ğ�’¥) = ğ�’¥Â² として、ğ�’””′(ğ�’¥) を計算して、ğ�’”†²(3) ）。定義 2 から始めて、次のように言えます。

ğ�’”′(ğ�’¥) の値を取得したので、ğ�’”′(3) を簡単に計算できます。

2) さて、ğ�’”′(2) が であることを計算してみましょう。

定義 1 から、次のことができます。

分母の式を代数的に操作すると、次のように結論付けることができます。

参考文献:

GUIDORIZZI、Hamilton L.A 微積分コース: 第 1 巻。リオデジャネイロ: Editora LTC、2001 年。

PISKUNOV、N. 微分積分法: 第 1 巻。モスクワ: 編集者ミール、1977 年。

ロガウスキー、ジョン。微積分学: 第 1 巻。ポルト アレグレ: ブックマン、2009 年。