スカラーで構成される長方形のテーブルは 行列 と呼ばれ、これらのスカラーをエントリまたは要素と呼びます。最初に、一般化された方法で行列に関するいくつかの重要な例を紹介します。
一般に、行列 A であっても、次のように表すことができます。
ここで、m は行列の行数、n は列数です。この要素は「ij 番目のエントリ」とも呼ばれ、行列内でのこの要素の位置を表します。つまり、1 行目、1 列目に位置します。は 2 行目、1 列目などにあります。行列はコンパクトな形式で表すこともできます。
行と列の行列
これは行行列と呼ばれ、1 行のみ、つまり m=1 で構成されます。一般的に：
列行列は、その名前が示すように、1 つの列だけで構成されます。したがって、n=1:
正方行列
行数と列数が等しい行列は正方行列、m=n であると言います。この場合、次のようにコンパクトな形式で表すことができます。
ここで、n は行列の次数と呼ばれます。 「行列の次数」という用語が使用される場合、それは必ず正方形であることに注意してください。いくつかの例を見てみましょう。
ヌル行列
ヌル行列は、すべての要素がゼロのみで構成される、任意の次元または次数の行列です。つまり、次のとおりです。
対角行列
対角行列は任意の次数 (正方形) の 1 つで、主対角を構成しない要素は 0 です。つまり、行列を , とすると、次のようになります。
恒等行列またはユニタリ行列
I でシンボル化された 単位行列 は 、主な対角要素が数字 1 のみで構成される対角行列です。
行列の等価性
A=B となる 2 つの行列 A と B があるとします。ある行列が他の行列と等しいとは、両方の次元が同じであり、対応する要素が等しい場合に限ります。正式には次のように書きます。
行列転置
行列の転置 (または 転置行列 ) は、行列の列を同じ順序で行として書いたときに得られるものです。簡単に言うと、線だったものは列になり、列だったものは線になります。正式には次のように書きます。
対称行列
行列が転置と等しい場合、行列は対称と呼ばれます。
行列の加算と減算
2 つの行列 (A と B など) を加算または減算 できるようにするには、それらの行列の次元 (または順序) が同じである必要があります。つまり、A の行数と列数が B と同じである必要があります。この合計を一般的に書くと次のようになります。
ここで、行列の和または減算は、A と B の対応する要素を加算 (または減算) することによって取得されます。
行列による実数の乗算
ここで、実数 x any を考えてみましょう。この数値と任意の行列 A の乗算は、正式には次のように与えられます。
反対のマトリックス
行列 A の逆は、A に -1 を乗算するか、単純に要素の符号を変更すると得られます。
参考文献:
ジョージ・B・アルフケン;ウェーバー、ハンス J;ハリス、フランク E. 数学物理学: エンジニアリングと物理学のための数学的手法 – 第 7 版、リオデジャネイロ: エルゼビア、2017 年。
リプシュッツ、シーモア。リプソン、マーク。線形代数 – 第 4 版、ポルト アレグレ: ブックマン、2011 年。
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