Briot-Ruffini アルゴリズム

Briot-Ruffini アルゴリズム ( 実用的な Briot-Ruffini デバイス とも呼ばれる) は、 多項式を 単純に分割する方法です。この方法を説明する前に、多項式に関するいくつかの概念を思い出してください。

多項式 P(x) が与えられると、P(x) を二項 (xa) で割ることにより、一意の商 Q(x) と一意の剰余 r(x) が得られます。つまり:

r(x)の次数はQ(x)の次数よりも小さい。簡単に言うと、多項式 P(x) を二項式 (xa) で割った余り r(x) が P(a) に等しいことを意味します。この事実は次のように簡単に証明できます。

もっと簡単に言えば、多項式 P(x) を二項 (xa) で除算したい場合は、実用的な「古典的な」ブリオ・ルフィニ装置を使用できます。次に、この方法がどのように機能するかを例を挙げて段階的に見ていきます。多項式を次のようにします。

そして、それを (x-1) で割るとします。また、x-1=0 が P(x) の根になり得るかどうかを確認することもできます。そうであれば、剰余定理に従って、この除算の剰余はゼロになります。

代入すると次のようになります。

したがって、この二項式による P(x) の除算の余りは r(x)=0 になります。したがって、Briot-Ruffini アルゴリズムから始めましょう。

(1回目) 次のように十字を描きます。

(2 番目) 左側の最初のスペースに、割りたい二項 (xa) の a の値を書き込みます。この場合、a=1 です。

(3 回目) 次のように、多項式 P(x) の係数だけを順番に書きます。

係数の符号に注意してください。

(4 番目) 次に、多項式の最初の係数を、すでに書かれているもののすぐ下に書き換えます。つまり、「係数を下げる」ことになります。

(5 番目) この後、除数の根の値 (a=1) に下に書かれた最初の係数 (下げた 2) を乗算し、この乗算の結果を次の係数と加算する必要があります (上) 、この場合は -3 で、最終結果は -3 係数のすぐ下に配置されます。ご注意ください：

つまり:

( 1 ⋅ 2 )+( -3 ) = 2-3 = -1

(6 回目) このステップを繰り返しますが、-1 が得られたので、次を参照してください。

つまり:

[ 1 ⋅ ( -1 )]+( 2 ) = -1+2 = 1

(7 番目) そして最後に:

これにより、次のことが得られます。

( 1 ⋅ 1 ) + ( -1 ) = 1 – 1 = 0

(8 番目) 上記のように記入された最後の列に達すると、部門が終了したことを意味します。これで、割り算の余りと商を知ることができます。次に、最後の列に次のような行を作成します。

この線の左側の係数は、除算 Q(x) の商多項式の同じ係数であり、右側の分離された値は、除算 r(x) の剰余です。この除算では剰余がゼロになることは剰余定理からすでにわかっていたので、実際の Briot-Ruffini 装置によってこの事実を確認しました。結果は次のようになりました。

これが正しいかどうかは、剰余定理を使用して確認できます。 Q(x) と r(x) が与えられると、次のことを簡単に確認できます。

チェック中：

したがって、割り算は正しく、P(x) は (x-1) で割り切れ、余りは 0 になります。

続きを読む：

参考文献:

ダンテ、ルイス・ロベルト。 数学: 文脈と応用。 3巻 。サンパウロ: エディターラ・アティカ、2011 年。

GUIDORIZZI、Hamilton L. A 微積分コース: 第 1 巻 リオデジャネイロ: Editora LTC、2001 年。

RPM 34 – http://www.rpm.org.br/cdrpm/34/3.htm