実数

0.010203040506…という数字を考えてみましょう。

この数値の形成を観察して、その小数部分を次のように続けることができると仮定しましょう。

0.01020304050607…;
0.0102030405060708…;等々。

この数値の 10 進表現には小数点以下の桁数が無限にあり、周期的ではないため、分数形式を取得することができません。したがって、この数値は有理数ではありません。

さて、この別の数字を見てください。

この数値を書き続けるには、0 で区切られた 7 のグループに常に数字 7 を追加する必要があると想像してください。

この数値の表現は正確な 10 進数でも周期的でもありません。したがって、この数値は分数として書くことはできません。したがって、これは有理数ではありません。

これらの例から、正確な 10 進数形式 (小数点以下の桁数が有限) でも周期的な 10 進数でも表現されない数値があることがわかります。したがって、これらは分数の形式、つまり a と b が整数であり b≠0 である a/b の形式で書くことはできないため、有理数ではありません。このタイプの数は 無理数と 呼ばれます。

ここで、小数点以下 7 桁の数値の小数表現を見てください。

これらの数値を表すために小数点以下の桁が何桁使用されたとしても、それらの正確なまたは周期的な小数表現を見つけることはできません。したがって、それらを表す分数はありません。したがって、それは無理数です。完全な平方ではない自然数のすべての平方根も、分子と分母が完全な平方ではない既約正の分数のすべての平方根と同様に、無理数です。

無理数の他の例としては、次のようなものがあります。 円の長さの計算に関連する数値。そして数値 e は、自然対数の底となる数学定数です。

無理数の例としては、次のようなものがあります。

の正確な値に到達するためにいくつかの計算が行われましたが、正確な小数または反復小数はまだ見つかっていません。数学者は、この数値を 2 つの整数の商として書くことは不可能であり、したがって正確な小数または循環小数として表現できないことを証明しました。したがって、それは無理数です。

ф (ファイ) = 1.61803…

オイラー数とも呼ばれる数値 e は、無理数の別の例です。

e = 2.7182818284590452353602874…

有理数の集合 (自然数の集合と整数の集合が含まれる) と無理数の集合を結合すると、 で表される実数の集合と呼ばれる新しい集合が形成されます。

2 つの有理数の間には、他の有理数が無限に存在するため、すべての有理数を点ごとに表すことは不可能です。たとえそれが可能だったとしても、これらの数値を表す点は数直線全体をカバーするのに十分ではありません。それを完了するには、対応する無理数に対応する点がまだ不足しています。

すべての実数の表現が数直線を埋めます。この線を実線と呼びます。

すべての実数は直線上に一意に対応する点を持ち、直線上のすべての点は一意に対応する実数を持ちます。

直観的には、実数の集合は数直線上で表現できるすべての数値によって形成されると言われます。実線のサブセットまたは間隔を表すには、集合の研究で使用される幾何学的表現または特定の表記法を使用します。

実数の範囲を表す方法の例を示す以下の表を参照してください。