黄金の数字

黄金数 (または 黄金比 ) は、自然界に存在する比率の探求を動機とした数学の発見です。この好奇心は古代から多くの人の心を目覚めさせてきました。ユークリッド (紀元前 3 世紀) から現在に至るまで、代数的および/または幾何学的な処理を施した自然界に存在する比率とパターンへの情熱は、数学者だけでなく、芸術家、デザイナー、建築家などを魅了しています。一部の歴史家は、黄金比は何世紀も前にエジプト人によって発見されたと信じています。エジプトの大ピラミッド (クフス) の斜面の高さと底辺の長さの半分の比率は黄金比に非常に近いです。

黄金比、黄金の平均、神聖な比率、黄金律とも呼ばれ、直線セグメントから求めることができます。以下の図のように、このセグメントの最大部分を最小部分とします。

ここで、具体的には、両方の合計を大きい方で割った値が、大きい方を小さい方で割った値に等しくなるような式を考えてみましょう。

この式は黄金比と呼ばれ、定数 fi: が割り当てられます。この条件に従ってセグメントを分割すると、この定数の値が得られ、これを 黄金数 と呼びます。おおよその値は次のとおりです。

例

1) フィボナッチ数列には、黄金数に導く性質があります。このシーケンスを取得するには、その最初の項が 1 に等しいと考える必要があり、次のようになります。

* この場合、前任者がないため、2 番目の位置も占めます。続き:

この操作を無限に続けると、次のシーケンスが得られます。

(1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、…)

このシーケンスから黄金の数字を抽出するには、その中の 2 つの連続する数字の比率を取得するだけです。数値が増加するにつれて、 に近づきます。以下を参照してください。

…

2) 以下の式を計算すると、黄金数も得られます。

3) 黄金数は 2 つの興味深い方程式を満たします。まず、1 と fi の比率は fi から 1 を引いた値に等しくなります。

この方程式を操作すると、次のことが得られます。

次に、2 番目の関係が得られます。

4) フィボナッチ螺旋は、フィボナッチ数列の数を辺とする一連の正方形を構築すると現れます。黄金比の法則に基づいて構築することも可能です。言い換えれば、らせんは、辺が 1 ずつ減少する正方形に 4 分の 1 円の円弧を貼り付けることによって形成できます。この理由に従って、次のことが得られます。

このスパイラルが自然界の多くの要素に現れていることに注目することも興味深いです。

5) 黄金律はミツバチの家系図の表現に現れます。各オスにはメスの親が 1 匹だけいますが、メスにはオスとメスの 2 匹の親がいます。巣の中のこの割合も黄金数に近づきます。

黄金の数字が自然の定数として、またデザイナー、エンジニア、アーティストなどの専門家の作業ツールとして現れる例をいくつか見つけることもできます。この定数は学者の間で議論され続けており、意見が分かれています。実際にはこれが普遍的な法則であると信じる人もいれば、単なる偶然に過ぎないと言う人もいます。しかし、コンセンサスに関係なく、黄金の数字は多くの好奇心を刺激し続けています。

参考文献

メリーランド州アクタルザマン;シャフィー、アミール A. ファイ、黄金比、自然、建築、デザイン、エンジニアリングのバロックの幾何学的実証。 国際芸術ジャーナル 2011; 1(1): 1-22 DOI: 10.5923/j.arts.20110101.01。

リンク: http://article.sapub.org/pdf/10.5923.j.arts.20110101.01.pdf