モーダルロジック

1960 年代に開発された 様相論理は 、様相を表現する演算子を組み込むことで、古典論理、命題論理、述語論理を拡張しました。このようにして、言語哲学と科学哲学の問題の分析と解決に論理を使用する可能性も広がります。

様相とはモード、特に可能性、不可能性、蓋然性、必然性を指し、様相論理は主にこれらの概念を扱うために開発されました。形式的には、モダリティはいわゆるモーダル演算子を使用して表現されます。たとえば、「パウロは悲しいです」というステートメントは、「パウロは通常悲しいです」と修飾することができます。この場合の「通常」という用語はモードであり、様相を表します。古典的なモーダル演算子を使用するには、「今日は晴れるかも知れません」と「今日は晴れるかも知れません」という例があります。どちらのフレーズも可能性を表します。この場合、「今日は晴れるでしょう」というフレーズにモーダル演算子「possible」が関連付けられています。

様相演算子の標準的な単項 (1 桁) 表記は、通常、必要性を表す□、可能性を表す ◊ として書かれます。形式的には、それぞれを否定 (¬) で表現できます。

◊P ↔ з □ з P は、「P である可能性がある」という意味は、「必ずしも P ではない」または「P が当てはまらない必要はない」と同等です。

□P ↔ з ◊ з P は、「必然的に P」という意味は、「P ではない可能性がある」または「P が当てはまらない可能性はない」と同等です。

たとえば、与えられた文脈で P が「今日は雨が降ります」を意味する場合、「今日は雨が降らない」必要がない場合に限り、今日は雨が降る可能性があります。一方、今日雨が降る必要があるのは、「今日雨が降らない」ということがあり得ない場合に限ります。

様相論理は 1960 年代に発展しましたが、様相論理の歴史は 1906 年にヒュー・マッコール著『Symbolic Logic and its Applications』という著作が出版されたことに始まります。マッコールは様相論理となるものの基礎を築き、この研究はクラレンス・アーヴィング・ルイスによって引き継がれました。ルイスは、バートランド・ラッセルの『プリンキピア・マテマティカ』の研究、特に物質的含意を排除するという決定に基づいて、1918年に著書『記号論理の概説』を出版しました。、偽の前件から真の後件が続くことを可能にするリソース。ルイスは、物質的な含意を制限された含意に置き換え、彼の論理モデルにおいて偽の先行件が真の後件を暗示するのを防ぎました。この目的を達成するために、ルイスは、否定と接続に加えて、可能性を示す単項意図的様相演算子を使用しました。その表記法はひし形です。ルイスの提案は今日却下され、正方形で表記される必然性演算子を原始演算子とし、可能性演算子を導関数とする。

20 世紀を通じて、様相論理が確立されるまでにいくつかのモデルが提案されました。主なものは、ロバートフェイズによって提案されたシステム T、ゲオルグヘンリックフォンライトによって提案されたシステム M です。 M システムは後に CI ルイスによって、1932 年の研究で作成され 1950 年代に開発された彼の S1、S2、S3、S4 および S5 システムを補完するものとして使用されました。その研究は新たな開発につながり、最終的には著名な哲学者ソール・クリプキによって開発された最小正規モーダルシステム K。クリプキによって提案されたシステムは、彼の可能世界意味論、またはクリプキ意味論に基づいて、様相論理の標準となり、現在の論理時代の始まりとなりました。

K システムの開発中にクリプキと文通していた哲学者のアーサーノーマンプライアは、「将来」を表す様相演算子 [F] と「以前」を表す [P] を使用して、時相論理の作成を進めました。時相論理のその後の開発には、次のようないくつかの応用分野が含まれています。線形時相論理。線形命題時論理;命題動的論理;および計算ツリーロジック。

参考文献: