行列乗算

行列の加算または減算 と同様に、 行列の乗算 も可能です。まだ 行列 に関する記事を読んでいない場合は、ぜひ読んでください。この概念をより深く理解することが非常に重要になります。

行列を乗算する前に、いくつかの定義を使用して行列を乗算できるかどうかを確認する必要があります。したがって、行列間の乗算を可能にするには、A と B の 2 つがあると仮定します。行列 A の列数は行列 BN の行数と等しくなければなりません。一般的な例:

そして

行列の行数と列数は、それぞれ と で与えられることに注意してください。では、行と列はそれぞれ と で与えられます。さて、上で述べたように、 と の間の乗算は次の場合にのみ可能になります。

言い換えれば、 の列数は の行数に等しいということです。 したがって、この乗算の結果は、 の行数と列数に等しい次元を持つ行列になります。 。一般的に説明しましょう。 by を乗算すると、 という行列が得られるとします。要件を満たしている場合は、次のようになります。

次に、より簡単な例を見てみましょう。それは次のとおりです。

そして

A の列数は B の行数と等しいため、乗算が可能であり、結果は行列 C になります。

この条件が満たされない場合、いかなる方法でも 2 つの行列を乗算することはできないことを強調しておく必要があります。

より単純なケースから始めましょう。 2 つの行列 A と B があるとします。A は行行列、B は列行列です。つまり、次のようになります。

そしてもちろん、この場合は条件が満たされていると仮定します (その場合にのみ、それらを乗算することが可能になります)。それらの積はスカラー C になります。乗算は次のように求められます。

例:

A の行の各要素と B の列のそれぞれの要素を乗算することに注意してください。

ここで落ち着いて、行列乗算の一般的なケースを正式な方法で示してから、実際の例を示しましょう。

ここで、結果の行列 C の ij 番目の各エントリは、A の i 番目のエントリと B の j 番目のエントリの積によって取得されます。つまり、次のようになります。

これはどういう意味ですか？私たちが行ったことは、A の各行と B の各列を乗算し、この結果を行列 C に配置すること以外の何ものでもありません。これは、単純な行行列と列行列の乗算の場合に行ったことと非常によく似ています。見てみましょう：

後：

A のすべての行と B のすべての列に対してこの手順を続けると、2 つの行列の積が得られます。次に実際の例を見てみましょう。

例 1: 行列 A と B を以下のようにします。

とすると、次のようになります。

例 2: 次数 2 の 2 つの正方行列の場合、

そして、次のものがあります。

例 3: さて、次数 3 の行列:

そして ;

乗算できる A、B、および C 行列がある場合、次のプロパティが適用されます。

1 – 、行列の乗算には可換性はありません。

2 –

3 –

4 –

5 – 、ここで はスカラーです。

6 – 、ここで、 は恒等行列です。

7 – 、ここで、 はヌル行列です。

参考文献:

ジョージ・B・アーフケン;ウェーバー、ハンス J;ハリス、フランク E. 数学物理学: エンジニアリングと物理学のための数学的手法 – 第 7 版、リオデジャネイロ: エルゼビア、2017 年。

リプシュッツ、シーモア。リプソン、マーク。線形代数 – 第 4 版、ポルト アレグレ: ブックマン、2011 年。