繰り返しとの組み合わせ

繰り返しによる組み合わせ の概念を導入するには、 単純な組み合わせ の正式な定義を覚えておくことが重要です。

n 個の 異なるオブジェクトを考えてみましょう。順序を考慮せずに、これらの n 個のオブジェクトから k を選択する方法の数を数えると、これらの要素の組み合わせを繰り返しなく作成できます。この組み合わせを求める式は次のようになります。

たとえば、次のシナリオを想像してください。12 人の参加者によるチェス選手権を企画しています。最初のゲームをプレイするためのペアを作成できる方法は何通りありますか?この問題は、2 対 2 で編成された 12 人のプレイヤーの組み合わせを計算することで解決できます。これにより、次のことがわかります。

次に、最初の 12 人の参加者から始まるペアを編成する 66 の異なる方法があります。組み合わせ演算、つまり二項係数には別の表記法があり、次のように与えられます。

ここで、要素の順序 を繰り返すことができる 場合、 繰り返しを伴う組み合わせ を扱うことになります。この場合、式は次のようになります。

つまり:

応用例を見てみましょう。

例 1) アイスクリーム屋で、チョコレート、バニラ、ストロベリーの 3 種類のフレーバーがあるアイスクリームを 4 杯購入したいとします。この購入には何通りの方法がありますか?

なお、この組み合わせでは、２つ以上のフレーバーの順序を繰り返すことが可能であり、繰り返しのある組み合わせにも対応できる。利用可能なフレーバーが 3 つあり、4 つのボールの組み合わせが必要な場合、次の式を使用します。

したがって、今回の購入では 15 通りの組み合わせが可能です。

ENEM 2017) 図に示すように、子供向けのコウノトリ トラックのおもちゃは、トレーラーと、その中で輸送される 10 台の車で構成されています。

このおもちゃを製造する会社の製造部門では、おもちゃの外観をより魅力的にするためにすべての車が塗装されています。 黄色、白、オレンジ、緑の 色が使用されており、各カートは 1 色だけで塗装されて います。コウノトリのトラック には、利用可能な 4 色のそれぞれのカートが少なくとも 1 台必要です 。コウノトリトラック内の車の位置を変更しても 、おもちゃの新しいモデルは生成されません 。この情報に基づいて、この会社は何種類の異なる玩具モデルを製造できるでしょうか?

本文中の太字の単語に注目してください。質問を解釈すると、それが繰り返しとの組み合わせであることがわかります。したがって、使用できる色が 4 つあり、おもちゃに配置する車が 10 台ある場合、問題は次のように解決できます。

この演習を通じて、各色のカートが少なくとも 1 つずつできるようになります。したがって、(黄色)、(白)、(オレンジ)、(緑) の数量があり、それぞれ少なくとも 1 つ以上あると仮定できます。したがって、次のように言えます。

これらの数量を合計すると、合計はカート 10 個に等しくなることがわかり、次のようになります。

変数を分離すると、次のようになります。

ここで、少なくとも各色のカートが 1 つあることがすでにわかっているシナリオがあることに注目してください。これはすでにコウノトリのトラックの 4 つの位置を占めており、6 つの位置だけが残っています。したがって、繰り返しを考慮して、今度は 4 つのカートを 6 つの位置に編成する必要があると考える必要があります。これにより、次の式が得られます。

参考文献

マイヤー、ポール L. 確率: 統計への応用。サンパウロ: Editora Livros Técnico Cientifiques、1975 年。

テスト – ENEM 2017、質問 143 – ブルー テスト