集合論

要素のコレクションを セットと 呼びます。これらの要素には、数字、物体、数字、人、動物など、私たちが注文したり、カタログ化したり、要素のグループに収集したりできるすべてのものがあります。例: ちょうど 10 歳の学校の子供たちのセットを構築したい場合、そのセットはペドリーニョ、ジョアンジーニョ、マリアジーニャなどの生徒と、ちょうど 10 歳のすべての生徒で構成されていると言えます。学校では古い。数学的には、セットはほとんどの場合数値で構成され、いくつかの条件に依存します。例: 実数のセット、整数のセット、2 より大きく 7 未満の数値のセットなど。

セットとそれを構成する要素との間の基本的な関係はメンバーシップ関係と呼ばれます。つまり、要素がセットに属するかどうかを決定できるルールがある場合にセットを定義します。要素 x がセット (またはコレクション) A に属している場合、 x は A に属していると言います。正式には次のように書きます。

そして、 x がこの集合の要素ではないとき、 x は A に属さないと言います。

数学におけるほとんどの集合には、そのすべての要素に対する定義がありません。そのため、集合を定義する最も簡単な方法は、そのすべての要素に共通のプロパティ、つまり、集合を構成するすべての要素に関連付けることができる法則を使用することです。以下に一般的な数値セットをいくつか見てみましょう。

例 1: 自然数から構成され、A の任意の要素が 5 以上 10 以下である集合 A を定義しましょう。その場合、集合は次のようになります。

この例では、A に属する要素 x は自然数であることがわかっているため、集合を次のように表すことができます。

それは次のようになります: 集合 A は、自然なものに属する x (A の任意の要素) に等しく、5 が x 以下であり、x が 10 以下である (または x が 5 と 10 の間である) ）。

空の集合

要素を生成できないプロパティによって表されるセットがいくつかあります。事例を見てみましょう:

A の要素はいずれも自然数の集合に属しますが、自然数には 1 と 2 の間の数がある、つまり、たとえば ℕ には 1.5 という数が存在しないというのは不合理であることに注意してください。したがって、この場合、集合 A は空であると言います。そしてそれは次のように表されます。

注意！空集合の概念は、要素が存在しないことを指し、その要素がゼロであるということではありません。

サブセット

例 1 では、集合 A の要素が自然数に含まれていることに注意してください。集合 A は自然数の部分集合である、つまり、集合 A は集合 ℕ に含まれていると言えます。次に、次のように書きます。

例 2: 基本的に、サブセットは別の要素を含むセットです。冒頭の例のように、学校にいる 10 歳の子供たちのセット (これを A と呼びます) をとり、男子だけを選択すると (これを B と呼びます)、10 人のセットは次のように言えます。 – 歳の男の子は子供のセットのサブセットです。一般に、2 つの集合 A と B が与えられ、A のすべての要素が B の要素でもある場合、A は B の部分集合であると言います。したがって、次のようになります。

例 3: 数値セット ℕ、ℤ、および ℚ は包含関係を満たします。ここで、

包含特性: