自然数

記号で表される 自然数 のセット (または 非負の整数のセット ) が、私たちの主な計数ツールです。これらは基本的に「私たちが数えるために使用する数字」です: 2 台の車、12 個の卵、3 人…

原始人は、自分の要素、物体、および自分に属するもの、または管理する必要があるすべてのものを説明するための象徴的な表現を必要としていました。この場合、数字のゼロはまだ 数字 として記述されていませんでした。結局のところ、西暦 450 年頃までに何千年もかかりました。ヒンドゥー教徒がそろばんに空の柱を導入し、そこから空白を数値で表すという概念が生まれました。

ゼロは数えられる要素でもあるため、自然数の一部です。ただし、数学ではゼロを含まない自然数を扱うことができ、次のように記号的に表現します。

または次の方法でも可能です。

自然数集合の構造の正式な定義は数学者のジュゼッペ・ペアノによって与えられ、そこで彼はペアノの有名な公理を紹介しました。これらの公理は、自然数を序数、つまりシーケンス内の決められた位置を占めるオブジェクトと見なします。数値 1 は最初の自然数、2 は 1 の後に続き、3 は 2 の後に続きます。自然数もカウント操作の結果として発生するため、集合は無限になります。これらの公理を述べる前に、自然数に関するいくつかの性質を示します。足し算から始めましょう:

どのプロパティについても、次のものが有効です。

連想:

可換:

カット法:

中立要素 :

次は乗算です。

連想:

可換 :

カット法:

単調性 :

これらのプロパティはペアノの公理に基づいて構築されており、それらをよりよく理解するには、 数値セット と 関数 の基本的な知識が推奨されます。以下の定義では、ゼロ () のない自然数の集合を考慮しています。私たちは次のように述べます：

関数を とすると、任意の結合法則 S( n ) (関数 S が点 n で取る値) について、それは n の 後継関数 と呼ばれます。

第 1 公理:

この関数は 単射的 、つまりすべてに対してです。

これは、自然数に属する 2 つの数が同じ後続数を持つ場合、それらは等しいことを意味します。

第 2 公理:

セットには要素が 1 つだけあります。言い換えれば、他の自然数を継承しない単一の自然数が存在するため、この数は 1 になります。

第 3 公理 (帰納法原理):

サブセットが次のようなものであるとします。そして、任意の に対して、それがあり、その後、 になります。

これらの公理は、自然数とそこから派生するすべての特性を構築するのに役立ちます。この厳密なアプローチは数の概念を構築するのに役立ち、後に 整数 、 有理数 、 実数 などの数学で一般的な他の数値セットの基礎を形成しました。

参考文献

ミリエス、セザール・ポルチーノ。コエーリョ、ソニア・ピッタ。 数字: 数学への入門。 サンパウロ: EDUSP、2013 年。

リマ、イーロン・ラジェス。 分析コース: 第 1 巻。 リオデジャネイロ: IMPA、2017 年。

リプシュッツ、シーモア。リプソン、マーク。 離散数学。 ポルト アレグレ: ブックマン、2004