ウィリアム ローワン ハミルトンの力学は、 ラグランジュ力学 に由来する 古典力学 を再定式化したものです。ただし、 ハミルトニアン力学は、 シンプレクティック多様体の数学的研究 (この力学を除く) を通じて単独で説明できます。
ラグランジアンと同様に、ハミルトン力学は、特定の場合に示されていなくても、より複雑なシステムを研究および分析することができます ( ニュートン力学 には本来の能力がありません)。
ハミルトニアン微積分
保存系のハミルトンの微分方程式は、一般に、運動エネルギーと 位置エネルギー が周期的に交替する系、つまり弾むボールや振り子に使用されます。しかし、それらは惑星軌道や量子力学などのより複雑なシステムでも使用されます。
ハミルトン力学の 2 つの基本方程式は、ほとんどの場合次のように記述されます。
説明されている式では、
= 時間に関する一般化された線形運動量と
= 一般化された速度。となることによって：
ハミルトニアン関数 H は、ラグランジュ関数と同様に、座標、つまり時間に対する線形運動量の変化率、時間に対する一般化座標 (一般化速度)、および時間に基づいていることに注意してください。
最初の方程式の負の符号は、ニュートン力 (時間の経過に伴う線形運動量の変化) が負の位置エネルギー勾配に等しくなることを示しています。
2 番目の方程式では、時間の経過に伴う座標の変化 (速度) は、線形運動量に対する運動エネルギーの変化に等しくなります。
ハミルトン関数
ハミルトン (または ハミルトニアン関数 ) は、粒子の線形運動量と一般化速度の積の和とシステムのラグランジュアンの差によって与えられます。つまり、次のようになります。
この系のラグランジュは、ラグランジュ力学の基準に従い、粒子の位置エネルギーと運動エネルギーの差によって与えられます。
言い換えれば、動的システムのハミルトニアンは T + U の和で与えられます。ここで、T = 運動エネルギー、U = 位置エネルギーです。そして、位置エネルギーは一般化された座標 (または粒子の位置) – U (q) = U (x) にのみ依存するため、運動エネルギーは粒子の 運動量 とその質量の関数として与えることができます。
運動量の定義を使用します: 粒子の速度 v とその質量 m の関係、ここで p = mv。そして、運動エネルギーが積 mv² の半分に等しい場合、次のようになります。
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