1657 年 8 月、フランスの数学者 ピエール フェルマー (1601-1665) はムッシュ キュロー ド ラ シャンブルに宛てた手紙 ( 書簡 第 42 号) で、有名な 「最小時間の原則 」: 自然は常に最短の道を選択する 、と述べました。
この原理に従って、フェルマーは光の伝播軌道を次の概念で記述します。
「ある点から別の点に進む光がたどる軌道は、移動時間が最小になるようなものです。つまり、光は最速の経路を進みます。」
軌道の距離が短いということは、必ずしもそれがより短い軌道であることを意味するものではありません。
たとえば、都市に行くには 2 つの方法があるとします。ルート A では、でこぼこした未舗装の道路を最高速度 40 km/h で 30 km 走行する必要があり、ルート B では、舗装道路を最高速度100km/hで50km。道路 A は最短ルートですが、道路 B を通過することで最初に到着します。光でも同じことが起こり、最適な移動方法を示す軌道を探します。
ルートを完了するまでの時間は、各手段でカバーされる時間の合計で求められます。
各メディアを通過するタイミングはどこですか。
それと、媒体の速度 () は媒体の指数 () を光の速度 (c) で割ったものであることがわかっているため、次の方程式が得られます。
より高いレベルの概念を使用すると、積分を使用して時間を見つけることができます。
どこ：
- ds – 無限に長い要素です。
- A – は光の軌跡の始まりです
- B – 光路の終点です
光の反射と屈折の法則
光の反射と屈折の法則はフェルマーの原理から導かれます。
反射の法則
フェルマーの原理 を使用すると、次の反射の法則が確認できます。
「入射角は反射角に等しい。」
法律からの控除
鏡に反射する光線
A から B までの光路は、距離 AP に距離 PB を加えたもので与えられます。この距離 (P) は、 ピタゴラスの定理 を使用して計算できます。
フェルマーの原理では、距離は最小でなければならないと述べています。最小の距離、つまり x の最小値を見つけるには、方程式を導き出し、それをゼロに等しくします。
Sen Ѳ = 反対側/斜辺であることを知る。
Sin Ѳ = Sin Ѳ1 と結論付けます。
屈折の法則
フェルマーの原理を使用すると、次の屈折の法則が確認できます。
光が屈折率 n 1 の媒体から屈折率 n 2 の別の媒体に 通過するとき 、光は常に N1 sin Ѳ = n2 sin Ѳ1 を持ちます。
法律からの控除
次の図では、光が点 A から点 B に移動する 3 つの異なる軌道が示されています (無限の軌道があることを覚えておく必要があります)。
屈折した光線の可能な軌道
光は 2 つの異なる媒体 (空気とガラスなど) を通過するため、速度が最大となる媒体内で最も長い距離を移動しようとします。これにより、点 B に早く到達することで時間を「節約」できます。
屈折
距離 AB を移動する時間は、距離を速度で割って求められるため、AP と PB の合計に等しくなります。合計時間は次のようになります。
v = c/n とピタゴラスの定理を考慮すると、次のようになります。
微分してゼロに等しくして x の最小値を見つけると、次のようになります。
参考文献:
ティプラー・ポール、モスカ、ジーン。科学者およびエンジニアのための物理学、第 2 巻、第 6 版、LTC 出版社、リオデジャネイロ、2009 年。
https://web.archive.org/web/20100730052205/http://vsites.unb.br:80/iq/kleber/CursosVirtuais/QQ/aula-3/aula-3.htm 2011 年 3 月 20 日にアクセス
http://efisica.if.usp.br/otica/universitario/raios/fermat/ 2011 年 3 月 18 日にアクセス
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