連立方程式

連立方程式 の研究をより深く理解するために、線形方程式とは何かという正式な定義を示し、続いて連立方程式を解くための構築といくつかのツールを紹介します。

線形方程式を、 n 個 の未知数、 n 個 の係数 (または変数)、および独立項 b を持つものとして定義します。つまり:

ここで、 n 個 の未知数を持つ方程式には n 個 の可能な解が存在します ()。これらは、以下の等式が真である場合にのみ有効になります。

2 つ以上の線形方程式の集合を方程式系と呼びます。線形システムの一般的な形式は次のように与えられます。

上記の用語の場合:

行列の積の形式でシステムを記述することも可能であることに注意してください。したがって、連立一次方程式は次のように表現できると言います。

次のような 行列 A、X、B があるとします。

積 AX = B は次のようになります。

例 1) これを 2 つの未知数と 2 つの変数からなる線形システムとすると、次のように関係付けることができます。

したがって、次のように言えます。

a ₁₁ = 2、a ₁₂ = 1、a ₂₁ = 3、a ₂₂ = -1、 x と y は変数、b ₁ = 4 および b ₂ = 11。

このシステムを行列積の形式で書くと、次のようになります。

そして、解セットは (x, y) = (3, -2) で与えられます。

例 2) 与えられたシステムを次のように関連付けます。

行列積によって次のように書きます。

解セットは (x, y, z) = (1, 2, 0) になります。

注: 一部の書籍では、上記の行列 X をベクトルと呼ぶ表記を見つけることができます。

SPD は、解が 1 つだけあるもの、つまり、タイプ (k ₁ 、k ₂ 、k ₃ 、…、k _n ) の解が 1 つだけ存在するものです。

SPI は無限の解を持つシステムです。

SI は、解 (k ₁ 、k ₂ 、k ₃ 、…、k _n ) が存在しないものです。

方程式の数が未知数の数と等しい系は、正規と呼ばれます。それらが行列形式で表される場合、従属変数を参照する行列 (行列 A) は正方行列になります。行数は列数に等しく、その行列式は 0 とは異なります。

均一系とは、b ₁ = b ₂ = … = b _m = 0 であるシステムのことです。常に (0, 0, 0, …, 0) タイプの単一の解を許容します。

線形システムを解く方法の 1 つはガウス消去法とも呼ばれ、システムがより簡単に解けるようになるまで変数を消去できるように方程式を操作することで構成されます。方程式の操作とは、方程式を加算したり、方程式全体に実数を乗算したり、方程式の間で除算したりできることを意味します。つまり、方程式全体に対して実行される限り、どのような操作も結果には影響しません。

つまり、いわゆるエシュロン システムとは、システムの方程式やゼロ以外の実数による乗算、除算、加算、減算など、方程式間の 置換 が可能なシステムです。段階的なシステムは次の形式になります。

参考文献

コエーリョ、フラヴィオ・ウー;ローレンソ、メアリー L. 線形代数 のコース。サンパウロ: EDUSP、2013

マーク・リプソン。シーモア、リプシュッツ。線形代数。ポルト アレグレ: ブックマン、2011