Joseph-Louis de Lagrange によって仮定された 古典力学 の公式は、機械的エネルギーの保存と動的システムの線形運動量の保存を関連付けています。これは ハミルトン力学 および ニュートン 力学の定式化の前身であるため、それらにとって基本的に重要であると考えられています。
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ラグランジュ関数
ラグランジュ関数は 次のように定義できます。
したがって、 ラグランジアン (座標の関数) は、一般化された座標の変化率、粒子の一般化された速度、および時間の場合: 位置エネルギー のみが 1 次元であり、粒子の位置座標に基づきます。
ラグランジュとハミルトンの原理
ハミルトニアン力学は、動的システムが 2 点間の移動を実行するために必要なさまざまな経路のうち、運動エネルギーと位置エネルギーの差を小さくする経路が自発的に選択されると主張します。となることによって：
このハミルトニアン原理から、オイラー ラグランジュ t の 2 次偏 微分方程式 が得られます。
これらの偏微分方程式から、保守的なシステムでは、時間に関連した 2 つの連続する点のラグランジュ間の差はゼロであると結論付けられます。したがって、エネルギー損失も発生します。
非保守的 (散逸的) システムの場合、以下が適用されます。
この場合、ラグランジアン間の差は、特定の距離で粒子に作用する一般化された力によって行われる仕事に等しくなります。これらの距離は、n 次元座標でも表されます。
ここで、 = 粒子の位置を表すベクトル、および = 粒子の n 次元座標。
線形運動量の保存
ラグランジュ力学 (たとえば、ニュートン力学よりも一般的な座標系を備えているため) は、より複雑な問題を解決でき、相対論的速度 (非常に高速) に達する現象を同等の精度で、それより低い速度の現象から区別できます。
空間が完全に均一で保守的であること、および一般化された座標が空間次元 (位置ベクトル r の単一モジュールで表される) の関数にすぎないと考えると、次のようになります。
オイラー・ラグランジュ方程式によると、エネルギー損失がゼロに等しい場合:
さらに、 p に等しい粒子の線形運動を考慮すると、 次のようになります。
2 番目の方程式に代入すると、次のようになります。
したがって、粒子が均一で保存的な空間に含まれている場合、粒子の 運動量 は時間の経過とともに変化しません。
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