球面幾何学は 、ユークリッド幾何学を正確に使用できない球面領域での幾何学的研究を可能にするために設計されました。
これは平面の側面を研究するために使用され、球面の研究には使用できません。これを証明する例として、紙に正方形や三角形などの図形を描きます。次に、この図を切り取って、発泡スチロールのボールまたはその他の球状の物体の上に置いてみてください。平面の特性は球面の特性とは異なるため、カットされた領域全体をサポートすることはできません。これが球面幾何学を精緻化する動機でした。ユークリッド幾何学と球面幾何学のもう 1 つの違いは、前者は線とデカルト軸に基づいた基本概念を持っているという事実です。 2 つ目は測地線と角度に基づいています。測地線は、表面上の 2 点を結ぶ可能な最小のセグメントであり、球の場合、測地線は、球の最大円周の円弧に沿って測定された曲線セグメントになります。
球面幾何学に関してはいくつかの興味深い特徴があり、それらを説明するために読者は、明らかに、私たちが慣れ親しんでいる平面ではなく球面を扱っていることを念頭に置く必要があります。 1 つ目は、まったく同じ形でサイズが異なる 2 つの図形を描くことは不可能であるということです。この効果が発生するのは、このタイプのジオメトリでは、描画された図形のサイズがその形状に影響する (また、図形の形状がそのサイズに影響する) ためです。同じ形で異なるサイズの図形が必要な場合は、それぞれを異なるサイズの球体で描画する必要があります。 2 番目の特徴は、平行なセグメントがなく、すべてのセグメントが表面のある点で互いに切断されていることです。 3 番目の重要な特性は、球上に描かれた三角形の内角の合計が常に 180 度を超えることです。横の図には、内角の合計が 180 度を超える三角形の例があります。
球面幾何学は 19 世紀に数学者によって研究され始めましたが、同僚から厳しく叱責されました。しかし、これらの数学者たちは科学的に躊躇することなく、研究を終えました。今日、球面幾何学はナビゲーションと天文学において非常に価値があります。
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