線形システムを解くことは 古い問題ですが、多くの計算問題は結局のところ巨大な線形システムに帰着するという事実により、依然として非常に有用です。線形システムを解く方法の 1 つは、行列式 (正方行列を実数に関連付ける行列関数) を使用することです。大きな行列式の解決はコンピューター プログラムを使用して実行できますが、場合によってはこれを手動で実行したい場合があります。これが起こった場合、一般的な考え方は、行列式の次数を減らすか、この行列式を単純化できる数学的手順を実行することです。これを行うにはいくつかの規則または方法があり、そのうちの 1 つはヤコビの定理と呼ばれます。
定義 : 次数 n (n ≥ 2) の正方行列 A とします。この行列 A の行 (行または列) に、それに平行な別の行の倍数を加算すると、次のような行列 B が得られます: det (A) = det (B)
言い換えれば、ヤコビの定理の考え方は、行列式が行列 A と同じになる別の B を見つけることです。
この定理を実際に理解する最良の方法は、例を通して見ることです。
例:
1) 行列になり、ヤコビの定理を使用して行列式を求めます。
解決：
1st) 行を選択します: ここでは行列 A の 1 行目を選択します。
2°) 選択した行から項をコピーし、その選択した行の項 (4 と 6) に何らかの値 (-2 を選択しました) を乗算し、次の行 (7 と 11) を追加します。
さて、会議のために、定理の妥当性を確認するために 2 つの行列式を見つけてみましょう。 Sarrus のルールを使用すると、det(A) = 2 および det(B) = 2 となります。 。したがって、定理が成り立ちます。
2) 行列を とします。ヤコビの定理を使って A の行列式を求めてみましょう。
解決：
1°) 行の選択: 最初の列を選択します。
2°) 選択した行から項をコピーし、何らかの値 (ここでは -3 を選択しました) を掛けて、項ごとに次の行 (ここでは列) の 1 つに追加します (残りをコピーします)。
もう一度、サラスの法則を使用して、2 つの 行列 の行列式を見つけて、それらが等しいことを確認してみましょう: det(A) = 117 および det(B) = 117 。
ここでも定理は有効です。
3) det(M) = 24756413 となる行列を とします。行列の行列式を求めます。
解決：
行列 M と N は同じ 1 列目を持っていることがわかります。そのため、行列 N の 2 列目を行列 M の 2 列目に等しくしようとすると、ヤコビの定理によれば、それらは同じ行列式を持つことになります。 。
最初の列を保持し、係数 -2 を乗算して 2 番目の列から減算すると、行列 M と同じ新しい行列 N’ が得られます。
したがって、N’=M であるため、det(N) = det(N’) = det(M) = 24756413 となります。
観察：
多くの場合 (例 1 と 2 の場合のように) 何も追加したり促進したりせずに値を変更するだけなので、最初はこの定理はあまり役に立たないように思えますが、素晴らしいアイデアがすぐそこにあります。この新しい行列を見つけると、いくつかの値を変更するだけで、(次数を減らさなくても) 既知の行列またはより単純な行列に到達して行列式を計算できます。
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