線形システムの分解能√ß√£

線形システムの解決策 の例を開始するために、一般的な方法で線形システムの概念を示し、その後、それらを解決する方法のいくつかの一般的なケースを示します。 方程式系 に関する記事も読むことをお勧めします。

√â は、2 つ以上の線形方程式のセットを線形方程式系 (または単に線形系) と呼びます。線形システムの一般形式 √© は次のように与えられます。

上記の用語の場合:

行列の積の形式でシステムを記述することも可能であることに注意してください。したがって、連立一次方程式は次のように表現できると言います。

次のような 行列 A、X、B があるとします。

製品 A。 X = B は√°です:

したがって、線形システムの未知数の値を見つけるために最も使用される方法を紹介します。

これは、2 つの方程式と 2 つの未知数がある場合に最も一般的に使用される線形システムを解く方法です。基本的には、システム内の変数をキャンセルするために方程式を追加することで構成されます。この方法 √© を例で示す最良の方法は次のとおりです。

最初と 2 番目の方程式√ß√£ の項を追加すると、次が得られることに注意してください。

その結果、次のような結果が得られます。

変数 ùë• の値を見つけました。次に、得られた 2 番目の方程式に ùë• の値を代入します。

この場合、この方程式の解集合は √© と言えます。

S: (x, y) = (3, -2)

この方法は、2 つ以上の方程式を含む線形システムを扱う場合に最適なオプションですが、この記事では、3 inc√≥ gnites を持つ 3 つの方程式の場合のみを扱います。これは基本的に、最初の 2 つを除くすべての方程式の最初の未知数を消去しようとすることから構成されており、以下同様です。各ステップおよび各方程式で inc√≥ gnita を使用して加算または減算して、別の演算√ß の m√∫倍数を消去します。 √£。以下のシステムを解くことで例を示してみましょう。

1 ∫) 最初の式√ß√£o に 2 を掛け、この結果を 2 番目の式√ß√£から引くと、次のようになります。

2 ∫) ここで、最初の式√ß√£o に 3 を掛け、3 番目の式√ß√£ から引くと、次のようになります。

3 ∫) 最後に、2 番目の方程式 √ß√£o を 3 で割り、この結果から 3 番目の方程式 √ß√£ を引くと、階層系が得られます。

変数 ùëß の値の直接的な等価性が見つかったので、方程式に代入を行って ùë• と ùë¶ の値を求めるだけです。結果は次のようになります。

スケーリングされたシステムの形式は次のように一般化できます。

クレイマーの法則は、基本的に行列行列式を使用して線形システムを解くための手法です。一般化しましょう:

線形システムを 3 inc√≥gnites と 3 つの方程式とします。

次のように言えます。

ここで、A √© は係数の行列、X √© は未知数の行列、B √© は独立項の行列です。

Cramer の方法では、最初に 係数行列の行列式 を作成する必要があります。この行列式を D と呼びます。

この行列式を計算すると、ùê∑ ‚↠0 の場合、線形システムには解√ß√£ があります。つまり、√© が可能で決定されますが、ùê∑ = 0 n√£ o の場合は、次のように進めることができます。クレーマーの法則。続いて、システム変数の値を見つけるための行列式を計算する必要があります。この値は、係数行列内で、変数の行列の行列によって決定される未知の係数の列を置き換えることによって取得されます。つまり:

最後に、各 inc√≥gnite の値を実際に決定するには、係数行列を係数行列の行列式で置き換えることによって得られる行列式間の比率を作成する必要があります。つまり、次のようになります。

以下のシステムでこの方法を例に挙げてみましょう。

行列積の形式で書くと、次のようになります。

行列式 ùê∑ の計算:

そして今、代入√ß√£によって得られた行列式は次のようになります。

そして最後に、私たちを決定する理由にシステム変数を代入すると、次のようになります。

したがって、システム √© の解√ß√£は次のようになります。

参考文献:

コエーリョ、フロリダ州vio U;ローレン√オ、メアリー L. 線形√代数のコース。 サンパウロ: EDUSP、2013

マーク・リプソン。シーモア、リプシュッツ。 √Å線形代数。 ポルト アレグレ: ブックマン、2011

バリア、Lu√≠s;ヴァルス、クローディア。 √Å線形代数: 演習√≠cios。 サンパウロ: Livraria da F√≠sica、2012 年。