行列行列式

行列の行列式は、 すべての正方 行列を 定数に関連付ける、つまりスカラーに変換する「操作」です。この関数は、与えられた行列に逆行列があるかどうかを知りたい場合に重要ですが、この記事ではこれについては説明しません。読者が本文をよりよく理解するには、 行列 に関する記事にアクセスすることが非常に重要です。一般行列 A の行列式を参照する場合、行列式は正方形である必要があることを思い出してください。その行列式を表す表記は次のとおりです。

あるいは、単純に次のように書くこともできます。

デット A = |A|

次数 1 の行列の場合、行列 A=[A _ij ] ₁ と仮定すると、その行列式は次のようになります。

これは、簡単に言えば、次数 1 の行列には常に要素が 1 つだけ (同時に唯一の列と唯一の行に属する) があり、その行列式がこの唯一の要素と等しいことを意味します。例：

2 次および 3 次の行列の場合、行列式の計算には、Sarrus 法と呼ばれる非常に有名な方法がよく使用されます。これは基本的に、行列の要素によって形成される対角要素を乗算することで構成されます。一般的な例を見てみましょう。

次数 2 の行列の行列式は次のように与えられます。

これは、この行列の主対角の項の乗算から副対角の項の乗算を引いたものです。これをグラフで表すと次のようになります。

次数 3 の行列の場合も、この方法は機能しますが、方法が少し異なります。以下を参照してください。

行列であっても、その行列式は次のようになります。

これは、図的に言うと、次数 2 の行列の場合と同様に、行列の右側で列 1 と列 2 を書き換え、対角線を乗算することによってこの結果が得られたことを意味します。

「右へ」の対角線が 3 つ、「左へ」の対角線が 3 つ出現していることに注意してください。 Sarrus 法では、次数 2 と 3 の行列の場合、「右」の対角要素の乗算は符号 (+) を維持し、「左」の対角要素の乗算は減算されます。 (-)。

ラプラスの定理 と呼ばれる、任意の次数の行列の行列式を計算する方法もあります。 チェックしてみる価値があります!

1 – 正方行列の行列式は、この行列の転置の行列式に等しい：

2 – 行列 A の次数に関係なく、行全体または列全体がゼロで構成されている場合、その行列式はゼロに等しくなります。例：

3 – 行列 A に 2 つの同一の行または 2 つの列がある場合、その行列式も 0 になります。

4 – 2 つの行列の積の行列式は、行列式の積に等しい。

5 – 行列に比例した行または列がある場合、その行列式もゼロになります。例えば：

この例では、2 番目の列は最初の列の 2 倍であるため、その行列式は 0 であることに注意してください。

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参考文献:

ジョージ・B・アーフケン;ウェーバー、ハンス J;ハリス、フランク E. 数理物理学: エンジニアリングと物理学のための数学的方法 – 第 7 版 リオデジャネイロ：エルゼビア、2017年。

リプシュッツ、シーモア。リプソン、マーク。 線形代数 – 第 4 版 ポルトアレグレ：ブックマン、2011年。