可逆 (または非特異) 行列は、逆行列を許容する必然的に正方行列です。このトピックをよりよく理解するには、 行列 行列式 と 行列乗算 に関する記事を参照することが重要です。したがって、行列 A が与えられ、それが可逆であると仮定すると、次のような単一の行列 B が存在します。
ここで、 I は単位行列、 B は A の逆行列です。 B を使用する代わりに、 A -1 という表記を使用して A の逆行列を表すこともできます。
行列が可逆であるためには、 行列式 がゼロ以外でなければならないことを定義することが重要です。
次数 2 の逆行列
次数 2 の逆行列の一般的なケースから始めて、a、b、c、d が定数値である行列 A が与えられたと言えます。
私たちがしなければならないことは、A の逆行列を見つけることです。これを行うには、次のような A -1 があると仮定します。
したがって、関係から次のようになります。
これらの行列を乗算すると、次のものが得られます。
その結果:
ここで 2 つの行列が等しくなり、 の各要素を I の対応する要素で書くことができることに注意してください。 したがって、次のようになります。
これにより、問題は線形方程式系に還元され、変数に関して 2 つの系に分割することもできます。
これは一般的なケースです。それでは実際の例を見てみましょう。次のような行列があるとします。
その逆数を決定するには、次のことを行う必要があります。
つまり:
2 つのシステムに分離してそれらを解くと (システムを解く方法については、記事「 方程式系 と 線形システムの解決」を 参照してください)、次のようになります。
したがって、A の逆行列は次のようになります。
n 次の行列の逆行列
A が任意の次数 n の行列であるとします。行列 A -1 を見つけることは、要するに、n 個の未知数を含む n 個の方程式系の解を見つけることになります。一般的に、次のように仮定します。
それから、
参考文献:
ジョージ・B・アーフケン;ウェーバー、ハンス J;ハリス、フランク E. 数理物理学: エンジニアリングと物理学のための数学的方法 – 第 7 版 リオデジャネイロ：エルゼビア、2017年。
リプシュッツ、シーモア。リプソン、マーク。 線形代数 – 第 4 版 ポルトアレグレ：ブックマン、2011年。
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