行列は、その行列式がゼロ以外の場合にのみ、 可逆 または非特異と呼ばれます。行列が非ゼロの行列式を持つ正方行列であり、数値で表される場合にのみ行列が可逆であるのはこのためです 。 マトリックスの名前の上付き文字 1 。
例:
- A -1 は A の 逆行列 の表現です
- B -1 は B の逆行列の表現です
逆行列 を求める方法は 線形システム法 と呼ばれます。この方法は、次数 n の可逆行列とその逆行列の積が単位行列 I n で あるという定義から始まります。
例として、次の逆行列がある場合を計算してみましょう。
。
最初のステップは、行列が逆行列を許容するかどうか、つまり可逆かどうかを確認することです。これを行うために、A の行列式を計算します。
行列 A の行列式 は det(A) = -5 で非ゼロであるため、行列は可逆 (または非特異) です。この情報は、行列が存在することを示しています。
A と同じ次数の逆 A
-1
。つまり、行列 A が
、その逆は次のようになります
ここで、変数
x
、
y
、
z
、および
w
は A の逆元の要素になります。
線形システム反転法を使用すると、次のようになります。
上記の定義に行列 A、A -1 、および I n を代入すると、次のようになります。
行列 A と A -1 を乗算すると、次のようになります。
乗算の結果から、行列の各要素が対応する 行列の等価性 が得られ、2 つの方程式からなる 2 つの系が得られます。
それぞれを解決すると次のようになります。
最初のシステムの結果により、x と y の値がすでにわかっています。
2 番目のシステムを解くと、次のようになります。
2 番目のシステムの結果から zew の値が見つかり、したがって A の逆行列の値がすでに得られています。
マトリックスを考えてみましょう
そして、もしあれば、その逆数 B
-1
を計算します。
まず、行列式を計算して、逆行列 B -1 が存在するかどうかを確認してみましょう。
ターミネータの結果がゼロであるため、行列は特異または非可逆、つまり逆行列を認めません。ただし、このステートメントを証明するために B の逆数の計算を続けましょう。
B
-1
を B の逆行列と呼ぶと、次のようになります。
。
線形システム法を使用すると、次のようになります。
行列 B と B -1 を上記の方程式に代入すると、次のようになります。
行列 B と B -1 を乗算すると、次の等式が得られます。
上記の等式から、次の 2 つの線形システムが得られます。
最初の系を解くと、次が得られます。
2 つの方程式を追加すると、最終的に非互換性が得られます。
この非互換性は、システムに解がないこと、つまりシステムを解くことが不可能であることを意味し、その結果、逆行列 B -1 が存在しないことになります。
この方法は単純ですが、非常に高次の行列になると非常に手間がかかります。行列は常に n 方程式の n 系に分類されるからです。つまり、3 次の行列がある場合、次の 3 つの系を解く必要があります。 3 つの方程式、行列の次数が 4 の場合、4 つの方程式からなる 4 つの系を解く必要があり、この方法は非常に手間がかかります。この問題の代替案は、随伴行列法です。
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