直線のパラメトリック形式は、その表現の 1 つと、 一般 、 部分 、および 縮小の 形式です。この表現の違いは、通常のデカルト座標に加えて、3 番目の変数である ùë° と呼ばれるパラメーターを使用して直線を定義できることです。その定義は、j√° ベクトルの概念が提示されるとよりよく理解されます。その定義を見てみましょう。
直線 √© が次の形式で √° である場合、パラメータ化されたと呼ばれます。
ここで、ùëì(ùë°) と ùëî(ùë°) は 1 次関数であり、パラメーター ùë° に依存します。たとえば、直線 ùëü を次のように定義するとします。
そうすると、ùë° = 2 の場合、次のようになります。
点 (3,4) √© がこの直線上の点であることがわかります。
パラメトリック方程式を縮小直線方程式に変換したり、その逆の変換を行うのは興味深いことです。それがどのように行われるかを見てみましょう:
1) 以下のパラメータ化された直線の 縮小方程式を取得し ましょう。
まず、2 つの方程式のいずれかから ùë° を分離できます。それを 2 番目から分離しましょう。
パラメーター ùë° が分離されたら、それを最初の方程式に置き換えることができます。
最後に、一般的な形式を見つけます。
さて、縮小された形式、つまり ùë¶ を分離する形式については、次のようになります。
したがって、直線の縮小形が得られます。
2) たとえば、一般方程式 ùë¶ = 3ùë• + 1 をパラメータ化された方程式に変換してみましょう。まず、関数 ùë° 任意√° の関数の式を選択して、この関数が一次関数である限り、任意の変数に代入できます。したがって、実用性を考慮して、ùë¶ = 3ùë° + 4 を選択します。
ここで、ùë• を分離して、ùë° から ùë• までの関数のパラメータを見つけます。
これで、直線が ùë° から ùë• および ùë¶ までの関数でパラメータ化されました。
逆のプロセスを実行して、パラメータ化√ß√£ が直線の縮小方程式と一致するかどうかをテストすることもできます。この場合、ùë• の ùë° を分離します。
ùë¶ に置き換えると、次のようになります。
最後に、式の縮小方程式を見つけます。
パラメータ化をより詳細に検討すると、空間内の任意の直線または曲線を、他の曲線の中でも特に ùë°、パーボール、双曲線、楕円の関数でパラメータ化できる可能性があります。このトピックは、微分幾何学と呼ばれる曲線のパラメータ化√ß√µを最初に調査する√°数学√°領域であり、研究する価値があります。
参考文献:
ウィンター、パウロ。ベクトルと Anal√≠tic ジオメトリ。サンパウロ：ピアソン・マクロン・ブックス、2000年。
ダンテ、ルイス・ロベルト。数学: 文脈と応用 – 第 3 巻。サンパウロ: Editora √Åtica、2011 年。
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