素数

素数は 2000 年以上にわたって数学者を魅了してきました。素数は数学の聖杯です。なぜなら、素数には非常に単純な定義があるにもかかわらず、それに関連する多くの問題がまだ解決されていないからです。素数とは何かを定義しましょう。

素数とは、1 とその数自体の 2 つの約数のみを持つ数です。

さて、自然数の集合 N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} から、上記の定義に従っていくつかの素数を特定してみましょう。 100 未満の素数は次のとおりです。

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

数字 0、1、4、6、8、10、12 は、約数が複数あるため素数ではありません。たとえば、6 は 1、2、3 で割ることができ、6 自体は 1、2 で割られます。 、4、および 8。ゼロは素数になることはできません。ゼロを他の数値で割ってもゼロになる可能性があり、約数は無限大になります。 1 自体は約数が 1 つしかないため、1 も素数になることはできません。数字 2 は最小の素数であり、唯一のペアです。

複雑さはここから始まります。数値が素数かどうかはどうやってわかるのでしょうか?小さな数の場合、この質問に答えるのは簡単ですが、存在する 自然数 が無限にあることを考えると、1 つを選択し、それが素数かどうかを識別するのは非常に困難です。残念ながら、数値が素数かどうかを判断する公式はありませんが、この作業に役立つツールがいくつかあります。最もよく知られている方法は、エラトステネスのふるい (または除算アルゴリズム) です。

この方法は基本的に、数値がそれ自体より小さい自然数で割り切れるかどうかをテストすることで構成されます。エラトステネスのふるいが 1 から 100 までのすべての素数を決定する仕組みを見てみましょう。

この方法を再帰的に実行すると、以下の表に示すように、緑色の数値は素数であり、その他の数値は素数の倍数です。

が与えられた場合 、 それを確実にするために、 が素数である場合は、x を 割る 素数がないことを示してください 。

これは、数値が素数かどうかを判断するには、ちょうど になるまで x を連続的に除算することを意味します。これらの割り算のいずれかが正確であれば、 x が 素数ではないことがわかります。それ以外の場合、正確なものがない場合、 x は素数になります。上記の場合、 のように、2、3、5、7 の倍数を単純に削除します。

1、0、および -1 より大きいすべての整数は、独自の方法で素因数の積によって書き込む (または分解する) ことができます。

例:

整数を任意の値 (2、3、4、…) で累乗すると、TFA は引き続き有効になります。次に例を示します。

次に一般化することができます。任意の整数 x は次のように記述できます。

そして、この整数を値 m で累乗すると、次のようになります。

P ₁ 、P ₂ 、P ₃ … P _{n は} 素数です。

素数の分布は完全に不規則であり、その秘密を解明することが多くの数学者の目標でした。

参考文献:

ミリエス、セザール・ポルチーノ。コエーリョ、ソニア・ピッタ。 数字: 数学への入門。 サンパウロ: EDUSP、2013 年。

ヘフェズ、アブラモ 。算術の要素 。リオデジャネイロ：SBM、2011年。