進行状況

「 進歩 」という用語は、プロセスまたは継承の段階的な発展を指します。数学では、この連続を数列と言います。いくつかの既知の シーケンス を例に挙げます。

上記のすべての例で、シーケンスはその要素 (用語とも呼ばれます) の順序によって定義されていることに注意してください。シーケンスのサイズは、シーケンスが持つ項の数によって定義されます。これにより、シーケンスが無限であるか有限である可能性が生じます。

有限または無限のシーケンスでは、その位置に応じて項に名前を付けます。つまり、上記の例では、各項の第 1 項は 1994、1990 および 0 です。第 2 項は 1998、1994 および 1 です。したがって、その位置に応じてシーケンスの項を _n と呼ぶことができると判断します。ここで、 n は その位置 (1st、2nd、3rd、…、no) を表します。また、有限数列の 最初と最後の項 (a ₁ と a _n ) は 数列の極値 と呼ばれます。次に、それを一般的な方法で表すことができます。

数値列の正式な定義 : 「 数値列は、次のような自然数または正の整数の集合に対して定義される関数です。」 on はインデックスと呼ばれ、ğ�’� _{ğ�’› は} シーケンスの n 番目の要素、または一般用語と呼ばれ ます。

(ğ�’� ₁ , ğ�’� ₂ , ğ�’� ₃ , ğ�’� ₄ , ğ�’� ₅ , � , ğ�’� _ğ�’› ) </span>

ここでは、自然数のシーケンスを仮定してみましょう。0 で始まる各項 (a ₁ ) は、前の項に 1 を加算することによって得られます。つまり:

ğ�’� ₂ = ğ�’� ₁ + 1 = 1

ğ�’� ₃ = ğ�’� ₂ + 1 = (ğ�’� ₁ + 1) + 1 = 2

ğ�’� ₄ = ğ�’� ₃ + 1 = (ğ�’� ₂ + 1) + 1 = [(ğ�’� ₁ + 1) + 1] + 1 = 3

…

自然数列の場合、各項に加えられる数字の1を 累進比 (r)といいます。等差数列 (AP) では、シーケンス内の各項は、前の要素とその比率の合計です。ここで、数列の項を r (比率) の関数として書き直してみましょう。

ğ�’� ₂ = ğ�’� ₁ + r

ğ�’� ₃ = ğ�’� ₂ + r = (ğ�’� ₁ + r) + r = ğ�’� ₁ + 2r

ğ�’� ₄ = ğ�’� ₃ + r = (ğ�’� ₂ + r) + r = [(ğ�’� ₁ + r) + r] + r = ğ�’� ₁ + 3r

…

ここで、次の項に対してこの操作を実行し続けると、等差数列の一般項 ğ�’� _ğ�’› を決定する公式が見つかります。これは次のように与えられます。

PA と同様に、幾何学数列 (PG) もシーケンスによって表されますが、その要素は、比率 q と呼ぶ定数による前の項の積によって与えられます。言い換えると、次のシーケンスが与えられるとします。

(ğ�’� ₁ , ğ�’� ₂ , ğ�’� ₃ , ğ�’� ₄ , ğ�’� ₅ , � , ğ�’� _ğ�’› )

私たちはしなければならない：

ğ�’� ₂ = ğ�’� ₁ 。 q

ğ�’� ₃ = ğ�’� ₂ . q = (ğ�’� ₁ . q) . q = ğ�’� ₁ . ^q2

ğ�’� ₄ = ğ�’� ₃ . q = (ğ�’� ₂ . q) . q = [(ğ�’� ₁ . q) . q] 。 q = ğ�’� ₁ .第 ³ 問

…

当然のことながら、GP の比率を取得したい場合は、次のように、期間をその前の期間で除算する必要があります。

GP 内の任意の項 ğ�’�ğ�’› を決定する操作を続行すると、一般項の式が得られます。

参考文献:

ダンテ、ルイス・ロベルト。 数学: コンテキストとアプリケーション – 第 1 巻。 サンパウロ: Editora Ã�tica、2011 年。

ヴィラ、ジェラルド。 数学的分析の紹介。 サンパウロ：ブルッチャー、1999年。