複素数

複素数は、 実数 よりも包括的な 数値セット を形成します。それらは無数の研究、特に 2 次および 3 次方程式 を解く試みの後に出現しました。このとき、数学者は実数の集合では表現できない負の数の 平方根 に出会いました。したがって、数学者はこれらのルートを文字「i」を使用して表すようになりました。主な根拠は を採用することでした。

のような方程式を解くと、 が出てきます。実数のセットには負の数の平方根がないため、この負の数を表すためにこの表記を使用することが合意されました。したがって、前の式の結果は になります。この数値「i」は 虚数単位 として知られています。

したがって、Z と呼ぶ複素数は次の形式になります。

、

数値 a を 実数部、Re(Z) = a、 b を 虚数部、Im(Z) = b と呼びます。この表記法は代数形式と呼ばれます。

複素数の加算は、同様の項を加算することによって実行されます。つまり、各数値の実数部を加算し、次に虚数部を加算します。と を次のような 2 つの複素数とします: と 。

と の加算を次のように定義します。

例：

合計は次のようになります。

複素数の減算は加算に似ています。各数値の実数部と虚数部の差を計算します。

と を次のような 2 つの複素数とします: と 。

と の減算を次のように定義します。

例：

違いは次のようになります。

複素数を乗算するには、注目すべき積の展開で採用されたのと同じ方法を使用し、第 1 因子の各項に第 2 因子のすべての要素を乗算します。このような：

と を次のような 2 つの複素数とします: と 。

と の乗算を次のように定義します。

例：

製品が次の場合:

複素数を除算するには、被除数と除数に除数の共役を掛けます。複素数の共役は になります。

複素数にその共役を乗算すると、分母は実数になります。

と を次のような 2 つの複素数とします。

と の除算を次のように定義します。

例

分割が次のようになった場合:

座標系で複素数を表すことができます。この座標系はアルガン-ガウス平面と呼ばれます。 2 つの垂直な直線セグメントで構成されます。水平セグメントには複素数の実数部が含まれ、垂直セグメントには虚数部が含まれます。例として、複素数がアルガン-ガウス平面でどのように表現されるかを観察してください。

線分 OZ は複素数の法と呼ばれ、|z| で表されます。下の図では、Ox 軸と OZ セグメントの間の角度は Z 引数と呼ばれ、 で表されます。

頂点 OâZ によって形成される 直角三角形 では、次のようになります。

Zの主張はこうだ。

Z の引数を見つけるには、 または を使用できます。

ピタゴラスの定理 を適用すると、次のようになります。

それから：

各複素数は、その係数と引数によって表現できます。このような場合、複素数は三角形式または極形式であると言います。

z ≠ 0 である複素数を考えてみましょう。

前に見たように:

a と b の値を complex に代入します。

極形式の 2 つの複素数を考えてみましょう。

間の製品は次のようになります。

したがって、極形式で 2 つの複素数を乗算するには、単にモジュールを乗算して引数を加算するだけです。

例：

次の場合:

前に見たように、複素数を乗算するには、モジュールを乗算して引数を追加するだけです。

複素数 Z を n 回乗算すると、次のようになります。

そして

したがって、Z を n 乗すると、次のようになります。

例：

であるとして計算します。